حل تمرین صفحه 30 ریاضی هفتم

این سوال به بررسی ویژگی‌های اشکال هندسی و نمایش آنها با عبارت‌های جبری می‌پردازد. **الف) چرا هر دو ساق را با a نشان می‌دهیم؟** در یک مثلث متساوی‌الساقین، طبق تعریف، دو ضلع (ساق‌ها) با هم برابر هستند. چون طول آنها یکسان است، از یک متغیر مشترک مانند **$a$** برای نمایش اندازه هر دو ساق استفاده می‌کنیم. **ب) محیط مثلث را به دست آورید.** محیط هر شکل، حاصل جمع اندازه‌های تمام اضلاع آن است. برای این مثلث، اضلاع $a$، $a$ و $b$ هستند. $$P = محیط = a + a + b = ۲a + b$$ **ج) مساحت مستطیل را با عبارت جبری بنویسید.** مساحت مستطیل از حاصل‌ضرب طول در عرض آن به دست می‌آید. در شکل داده شده، طول و عرض مستطیل $a$ و $b$ هستند. $$S = مساحت = a \times b$$

برای نوشتن عبارت جبری هزینه، باید هزینه را به دو بخش ثابت و متغیر تقسیم کنیم. - **هزینه ثابت (پایه):** این هزینه مستقل از تعداد کارت‌ها و برابر با **$۳۰۰۰$** تومان است. - **هزینه متغیر:** این هزینه به تعداد کارت‌ها ($n$) بستگی دارد. هزینه هر کارت $۱۰۰$ تومان است، پس هزینه $n$ کارت برابر با **$۱۰۰ \times n$** یا **$۱۰۰n$** می‌شود. **هزینه کل** برابر با مجموع هزینه ثابت و هزینه متغیر است. اگر هزینه کل را با $C$ نشان دهیم: $$C = ۳۰۰۰ + ۱۰۰n$$

برای پیدا کردن تعداد کل صفحات خوانده شده در یک هفته، تعداد صفحات روزانه را در تعداد روزهای هفته ضرب می‌کنیم. - **تعداد صفحات در یک روز:** $n$ - **تعداد روزهای هفته:** ۷ بنابراین، عبارت جبری برای تعداد کل صفحات خوانده شده در یک هفته به صورت زیر است: $$\text{تعداد کل صفحات} = ۷ \times n = ۷n$$

این مسئله شامل دو بخش است: نوشتن یک رابطه کلی و سپس نوشتن یک رابطه خاص با جایگذاری مقادیر. **۱. نوشتن رابطه کلی:** هزینه کل از یک بخش ثابت (ورودی) و یک بخش متغیر (به ازای هر دانش‌آموز) تشکیل شده است. - هزینه ثابت: $a$ - هزینه متغیر برای $n$ دانش‌آموز: $b \times n = bn$ - **رابطه کلی هزینه ($C$):** $$C = a + bn$$ **۲. نوشتن رابطه برای سال تحصیلی ۱۴۰۳-۱۴۰۴:** در این سال، مقادیر $a$ و $b$ مشخص شده‌اند: - $a = ۳۰۰,۰۰۰$ تومان - $b = ۳۰,۰۰۰$ تومان با جایگذاری این مقادیر در رابطه کلی، به دست می‌آوریم: $$C = ۳۰۰,۰۰۰ + ۳۰,۰۰۰n$$

برای هر الگو، رابطه‌ی جبری بین شماره جمله ($n$) و مقدار آن جمله را پیدا می‌کنیم. - **الگوی اول: $۴, ۸, ۱۲, ۱۶, ...$** این الگو، مضرب‌های عدد ۴ را نشان می‌دهد. هر جمله از ضرب شماره آن جمله در ۴ به دست می‌آید. **جمله $n$ام:** $۴n$ - **الگوی دوم: $\frac{۱}{۴}, \frac{۱}{۳}, \frac{۱}{۲}, ۱, ...$** این الگو را می‌توان به صورت $\frac{۱}{۴}, \frac{۱}{۳}, \frac{۱}{۲}, \frac{۱}{۱}, ...$ نوشت. صورت کسرها ثابت و برابر با ۱ است، در حالی که مخرج‌ها از ۴ شروع شده و در هر مرحله یک واحد کم می‌شوند. رابطه مخرج با شماره جمله $n$ به صورت $۵-n$ است. **جمله $n$ام:** $\frac{۱}{۵-n}$

برای پیدا کردن فرمول جبری این الگو، تعداد چوب‌کبریت‌ها را در هر مرحله بررسی می‌کنیم: - **شکل ۱:** ۱ مربع، ۴ چوب کبریت - **شکل ۲:** ۲ مربع، ۷ چوب کبریت ($۴+۳$) - **شکل ۳:** ۳ مربع، ۱۰ چوب کبریت ($۷+۳$) **رابطه الگو:** شکل اول ۴ چوب کبریت دارد و برای ساخت هر مربع جدید، ۳ چوب کبریت به شکل قبلی اضافه می‌شود. این یک الگوی حسابی است. فرمول جبری برای تعداد چوب کبریت در شکل $n$ام به صورت زیر است: $$\text{تعداد چوب کبریت} = ۳ \times (\text{شماره شکل}) + ۱$$ **عبارت جبری برای شکل $n$ام:** $$۳n + ۱$$

این نمودارها، تأثیر **ترتیب انجام عملیات** را بر نتیجه نهایی نشان می‌دهند. **نمودار اول:** ۱. ورودی $x$ ابتدا در ۳ ضرب می‌شود: $x \rightarrow ۳x$ ۲. سپس حاصل با ۲ جمع می‌شود: $۳x \rightarrow ۳x+۲$ - **خروجی نهایی نمودار اول:** $۳x+۲$ **نمودار دوم:** ۱. ورودی $x$ ابتدا با ۲ جمع می‌شود: $x \rightarrow x+۲$ ۲. سپس حاصل در ۳ ضرب می‌شود: $x+۲ \rightarrow (x+۲) \times ۳$ - **خروجی نهایی نمودار دوم:** $۳(x+۲)$ یا $۳x+۶$ **تفاوت دو نمودار:** تفاوت اصلی در **ترتیب انجام عملیات ضرب و جمع** است. در نمودار اول، ابتدا ضرب و سپس جمع انجام می‌شود، در حالی که در نمودار دوم، ابتدا جمع و سپس ضرب صورت می‌گیرد. این تغییر در ترتیب عملیات منجر به نتایج متفاوتی می‌شود ($۳x+۲$ در مقابل $۳x+۶$)، که اهمیت رعایت ترتیب عملیات در ریاضیات را نشان می‌دهد.